Det finns något som både finns och inte finns samtidigt!

[Rorschach]

Dimmigheten, otydligheten eller tvetydigheten är det kontradiktoriskas signum. Jag har bara skummat Gödels bevis, förutsätter att det är konsistent. Så det motsägelsefulla (dimmiga) emanerar ur de aritmetisk-logiska axiomen, de premisser Gödel begagnar sig av för att bevisa sina teorem, vilka måste vara (är) kontradiktoriska i sig. För endast ur inkonsistenta premisser utfaller motsägelsefulla, om än med teorin ifråga konsistenta, konklusioner. Att motsägelsefulla konklusioner är inkonsistenta kan allmänt bevisas genom att visa på ngn inkonsistens i härledningskedjan. Särskilt i axiomen. Men också i konklusionerna, även om nu R förnekar det, och också auktoriteterna på området i gemen. De ser inte det uppenbara, utan förutsätter att teorin ifråga är konsistent, primärt axiom och härledningskedjor, och därför bara måste konklusionerna vara konsistenta, hur dimmiga (motsägelsefulla) de än är.

Börja med att leta rätt på någon genomgång av Gödels bevis, det finns ett antal olika böcker som tar upp dem mer eller mindre formellt. Det finns ganska många felaktiga framställningar så försök kolla upp boken innan du läser den. Det du verkar ha hakat upp dig på är den åtskillnad som görs mellan att en sats är bevisbar i en teori T och att en sats kan formuleras i teorins språk. Om a är en oavgörbar sats i T så finns det inte ett bevis av a i T och inte heller ett bevis av ~a i T. a är dock ändå en sats i teorins språk och är då antingen sann eller falsk. Givetvis kan man tycka att orden används på ett underligt sätt och att det för att en sats skall vara sann så ska den också kunna bevisas i T, så är dock inte fallet utan det är en missuppfattning från din sida.

[Mats H]

Ja, så är det, för mig är en sats vilken (hur fint den än) kan formuleras av X men inte kan bevisas av X inte sann i X, utan falsk i X. Och i det kommer jag aldrig att ändra mig: Intet kommer ur intet; En sats vilken inte är axiom i X måste ha en härledningskedja till axiomen, har den inte det är den falsk.

[Rorschach]

Ja, så är det, för mig är en sats vilken (hur fint den än) kan formuleras av X men inte kan bevisas av X inte sann i X, utan falsk i X. Och i det kommer jag aldrig att ändra mig: Intet kommer ur intet; En sats vilken inte är axiom i X måste ha en härledningskedja till axiomen, har den inte det är den falsk.

Helt begripligt men det kommer bli svårt att samtala, samt förstå vad som står i olika texter. Det blir ungefär som en person som tror att tecknet "+" står för multiplikation och ivrigt skriker ut att påståendet "2+4=6" är falskt och att det är fel i en massa läroböcker.

En annan fråga. Om vi har en ej avgörbar sats a i teorin T, så finns det inte ett bevis av a i T. Så som jag förstått dig menar du då att a är falsk. I och med att a ej är avgörbar så har inte heller ~a ett bevis i T; är då även ~a falsk? (~ står för negation.)

[Mats H]

Lagen om det uteslutna tredje ("av-a") gäller inte generellt, så i dess mening kan både a och -a vara falska i T. -a då alltså en homogen (entydig), "atomistisk", motsats till a. Men om a eller -a är sant i T är givetvis -a eller a falskt i T. Dubbla negationens lag gäller dock generellt.

[Rorschach]

Lagen om det uteslutna tredje ("av-a") gäller inte generellt, så i dess mening kan både a och -a vara falska i T. -a då alltså en homogen (entydig), "atomistisk", motsats till a. Men om a eller -a är sant i T är givetvis -a eller a falskt i T. Dubbla negationens lag gäller dock generellt.

Så din poäng är att om man tillämpar din definition av en mängd logiska begrepp såsom "sann sats", samt använder de logiska principer vilka du anser är giltiga, så blir logiken "kontradiktorisk" och lurar i någon mening sig självt. Visst, det kan så vara.

[lösdrivaren]

Det spelar faktiskt ingen roll Lösdrivaren, om x+x=2x nu inte skulle vara ett axiom, det är hur som helst ett fundamentalt aritmetiskt antagande (ett axiom, om än med grund i Peanos axiom enligt dagens sätt att se på aritmetiken), utan vilket matematiken faller.

x +  x = 2x  är inget fundamentalt antagande utan helt enkelt en konvention att skriva x + x som 2x på ett enkelt och behändigt sätt.

Som ett exempel på matematiskt axiom avseende reella tal (det Euklidiska rummet som är en generalisering av reella talegenskaperna)

x + (-x) = 0

Till varje reellt tal x finns ett (-x) sådant att x + (-x) = 0. På så sätt garanteras varje Euklidiskt rum ett nollelement.

[Mats H]

En konvention är ett antagande, och en tolkning. Att x+x blott skulle vara 2x, bara uttryckt på två olika sätt är falskt. Och att påstå att det bara är en konvention, en självklarhet eller tautologi, visar hur fast man kan vara i konventionen. För det förutsätter att x och x är samma (identiska) x, vilket de fundallogiskt inte är, x och x äger åtminstone olika position. Fundallogiskt gäller att x+x=x. Liksom att x-x=x, alltså inte 0, vilket då istället axiomatiskt får antas.

En annan sak: Som ngn så riktigt påpekade ovan så gäller: Att om det inte finns ngn absolut sanning så är inte heller påståendet att det inte finns ngn absolut sanning en absolut sanning, utan ett falskt påstående. Vilket givet att ngt existerar och kontradiktionsprincipen betyder att påståendet att det finns en absolut sanning (S) är sant. Det är ju gott och väl. Men sen kommer frågan att bestämma S. Människan har endast sin erfarenhet (e) att utgå ifrån när hon söker bestämma S. Så det första hon måste göra i sitt sökande efter S är att att fastslå att e är korrekt eller giltig. Hur gör hon då det? Ja, hon kan inte det. Människan sitter tautologiskt fast i sin egen erfarenhet (e), och kan endast anta att e är giltig. Så, frågan om S kan uppdagas hamnar likväl i relativism, i antagandet av e:s giltighet eller ogiltighet, trots att S alltså finns (givet existens och kontradiktionsprincipen).

[lösdrivaren]

En konvention är ett antagande, och en tolkning. Att x+x blott skulle vara 2x, bara uttryckt på två olika sätt är falskt. Och att påstå att det bara är en konvention, en självklarhet eller tautologi, visar hur fast man kan vara i konventionen. För det förutsätter att x och x är samma (identiska) x, vilket de fundallogiskt inte är, x och x äger åtminstone olika position. Fundallogiskt gäller att x+x=x. Liksom att x-x=x, alltså inte 0, vilket då istället axiomatiskt får antas.

Du feltolkar en konvention och uppfattar den som ett logiskt påstående. Konventionen har inget logiskt sanningsvärde.
Som i detta fallet, x + x skrivs kortare 2x, redan här har du ytterligare en konvention, 2x betyder egentligen 2*x, en konvention till att inte skriva ut multiplikationstecknet.

Sedan är x + x = 2x naturligtvis en tautologi.

[Mats H]

Jo, i grunden har konventionen ett sanningsvärde, även om det sedan "glöms bort" och man rent mekaniskt, algoritmiskt begagnar sig av "konventionerna", de logiska eller matematiska definitionsreglerna. För i annat fall vore förstås teorin ifråga ren abstraktion, utan ngn som helst (antagen) verklighetsförankring. Och så kan man förstås se det, men exemplvis matematiska applikationer på empiriska observationer blir då meningslösa.

[lösdrivaren]

Du har fått det mesta om bakfoten.
Grundläggande matematik är inte konventionstänkande. Försök förstå att matematiker gör rena typografiska överenskommelser hur symbolmanipulation går till.

[Mats H]

Dom vill tro det ja, att denna symbolhantering är ren och objektiv, och konsistent. Så är det inte, ALLT utgår ifrån en tolkning, utifrån antagande om det ena eller andra. Och hur som helst, som jag redan sagt, måste de principer som antas giltiga inom tex matematiken också antas giltiga i den "objektiva" verkligheten eller världen, om matematiken, särskilt då specifika matematiska modeller, ska ha ngt deterministiskt värde, som en avbild av verkligheten, särskilt extrapolativt. Om inte denna överensstämmelse antas, att samma "lagar" gäller i matematik och verklighet, så är matematiken endast esoterisk poesi, fjärran från verkligheten.