Ett matematiskt/filosofiskt problem.

[suchanother]

Ända sedan gymnasietiden har följande problem förföljt mej:

Den oändliga summan ∑ 1/(2ˆk), k=0,1,2,3,….alltså 1+1/2+1/4+…….konvergerar mot 2.
Detta innebär i klartext att summan kan aldrig bli 2 hur långt vi än räknar men kan fås godtyckligt nära 2 .

Matematiken gör anspråk på att modellera verkligheten. I verkligheten är det naturligtvis omöjligt att kontrollera riktigheten i ovanstående serie då vi inte kan halvera någonting materiellt i all oändlighet, åtminstone kvantnivån sätter en gräns.
Å andra sidan, tänkt med bonnförnuft, common sense, så bör ju alla summor växa oändligt och över alla gränser bara vi är tillräckligt ihärdiga? En ökning är alltid en ökning även om den är liten?

Matematiken här är en ren tankekonstruktion som har visat sej funka i verkligheten. Inte konstigt att Engels menade att gränsvärdet är människans största intellektuella bedrift. Vi lyfter på hatten för engelsmannen  Isaac Newton och tysken (den egentliga hjälten) Gottfried W. Leibniz.

[Jörgen]

Vi fick i skolan uppgiften att förklara hur haren lyckades komma ikapp sköldpaddan
- skoldpaddan hade fått ett försprång, men varje gång haren nådde dit sköldpaddan hade varit, så hade sköldpaddan ju rört på sig

Ingen lyckades komma på hur haren matematiskt gjorde...

Många år senare kom jag på det  :)

[suchanother]

Du är på rätt spår Jörgen. Men förklara för mej varför en ÖKNING, hur liten den än må vara, har en en gräns i totalsumman?

[suchanother]

Med hjälp av två Kosken och finsk sisu så får vi summan över 2. Gäller bara att inte ge upp i första taget.

[Kyano]

Det brukar vara enklare att tänka sig summan av 0,9+ 0,09 + 0,009 osv i all oändlighet, dvs. 0.999999...  som lika med 1.

Det kan även illustreras på enkelt sett med:
Om x = 0,99999...
10x = 9,99999...
10x - x = 9x = 9
x = 1

[suchanother]

Du tog till gamla välkända gymnasieknep där man ur en decimalutveckling listar ut talets rationella representation.
Du är nära sanningen, nämligen att talsystemet är så konstruerat (tio-basen) att en ökning är en ökning fast egentligen ingen ökning i den meningen att den ändrar en dignitet.
Grundfrågan kvarstår dock; varför ett tillskott, låt vara av atomisk storlek, inte ökar totalmängden till den grad att summan spränger varje given uppsatt gräns?

[användaretre]

Oavsett hur många glas man häller upp en kosken i kommer man aldrig ha mer än en kosken! Låt säga att man häller enligt systemet: Hälften av det som finns i flaskan hälls upp i ett nytt glas. Gränsvärdet är en kosken och vill du tömma hela flaskan måste du hälla upp snapsar i all oändlighet. För att inte snacka om disken. Visserligen handlar det om en ökning men den ökningen minskar ju för varje gång.

Matematiken gör anspråk på att modellera verkligheten.

Matematiken här är en ren tankekonstruktion som har visat sej funka i verkligheten

Tror man gör sig själv en björntjänst om man ger tankekonstruktionen mening utanför systemet självt.

[suchanother]

Fel, du utgår från en helhet och jobbar dej bakåt. Optimist som jag är vill jag se en ökning av Kosken istället. Jag vill alltså öka koskenmängden med x-antal koskenmolekyler och tror mej ha oändlig tillgång till varan. Är jag för optimistisk, vad säger matematiken?

[användaretre]

Det finns ingen skillnad. Man säger att en summa konvergerar om det existerar ett gränsvärde sådant att bla bla...
Du blandar ihop antalet glas med mängden kosken. Termerna i summan är oändligt många men samtidigt avtagande och går mot noll. Klumpigt uttryckt kan man säga att det finns två följder varav den ena går mot oändligheten och den andra mot noll. Vilken av dem som vinner avgör om summan är konvergent eller divergent.

[suchanother]

Då gör vi ett tankeexperiment och följer din tankegång och ditt resonemang, Kosken är fortfarande orörd, hur osannolikt än detta låter, men denna gången låter vi k<2 i samma serie, ∑1/(2 ^k).
Denna serie divergerar. Här måste man alltså vara beredd med minst en tankbil då Koskenflaskan tycks ha ett eget liv och expanderar över alla uppsatta mål.

[suchanother]

En rättelse.
Serien ska naturligtvist vara ∑x ^k, som är konvergent för alla -1<x <1, divergent annars.
Tur att det inte finns så många mattekunniga här på FF så jag slapp bli tillrättavisad.

[Kyano]

Du tog till gamla välkända gymnasieknep där man ur en decimalutveckling listar ut talets rationella representation.
Du är nära sanningen, nämligen att talsystemet är så konstruerat (tio-basen) att en ökning är en ökning fast egentligen ingen ökning i den meningen att den ändrar en dignitet.
Grundfrågan kvarstår dock; varför ett tillskott, låt vara av atomisk storlek, inte ökar totalmängden till den grad att summan spränger varje given uppsatt gräns?

I själva verket tror jag att det här problemet rent matematiskt har ett rätt invecklat svar gömt i själva topologin man konstruerar, dock är det bortom min förmåga att tala om. Men jag unnar mig ändå att svara.

Varken decimal-representation eller bråk-representation är (representerar uttömmande) de reella talen.  0.9999... är 1.000... , även om det uppstår en brist i representationen där, precis som att ett bråk (och även en serie bråk) kan vara identiskt med något det inte verkar representera, tex. är 9/9 identiskt med 0.9999... Det rör sig alltså inte om någon ökning i en faktisk bemärkelse. Det var identiskt så fort serien sattes oändlig. Då har du 2 som sätter en övre gräns för hur stor serien kan bli, och precis som användaretre säger kan man visualisera detta som att man har längden två som halveras i oändligheten. Ökningarna är  inget som faktiskt sker, utan serien är identisk med två, då båda är representationer av samma reella tal. Att så är fallet kan man som jag förstår det visa matematiskt på olika, invecklade sätt, utanför den klassiska skolningen i gränsvärden som jag personligen genomgått

Vad du verkar mena på, och där det blir ett filosofiskt problem, är om dessa ökningar innefattar faktiska operationer. Säg Zenons paradox. Då sker en oändlig summering under en ändlig tidsrymd, som traditionellt förklaras med hänvsining till en ren definition av reella tal, att summan är lika med en ändlig längd - men faktum kvarstår: det är fortfarande en oändlig summering. Där skulle jag säga att den komplicerade kopplingen mellan matematik och empiri tittar fram, och från det följer de komplicerade försöken att lösa den.  

Supertasks:
http://plato.stanford.edu/entries/spacetime-supertasks/

[användaretre]

I själva verket tror jag att det här problemet rent matematiskt har ett rätt invecklat svar gömt i själva topologin man konstruerar, dock är det bortom min förmåga att tala om. Men jag unnar mig ändå att svara.

Tror också att det hela vilar på "fullständighetsaxiomet" för de reella talen eller kanske urvalsaxiomet. Men är det meningsfullt att gräva så djupt? Om man nöjer sig med att konstatera att de reella talen bildar ett kontinum, saknar luckor, så är oändligt fina indelningar möjliga.

men faktum kvarstår: det är fortfarande en oändlig summering. Där skulle jag säga att den komplicerade kopplingen mellan matematik och empiri tittar fram, och från det följer de komplicerade försöken att lösa den.

En oändlig summering över oändligt små termer!

Grundfrågan kvarstår dock; varför ett tillskott, låt vara av atomisk storlek, inte ökar totalmängden till den grad att summan spränger varje given uppsatt gräns?

Är inte motsatsen minst lika förbryllade och kontraintuitiv? Hur kan serier divergera när termerna går mot 0? Hur kan oändligt små tillskott spränga alla gränser? Det blir lätt mycket snack om oändligheter hit och dit om man försöker översätta matematiken till ett språk som den inte är defininerad på. Att blandad ihop den med vår krassa verklighet och därigenom försöka göra den mer begriplig är förmodligen lika meningslöst (matematiskt) men ack så roligt. Ungefär som att spela schack med tre kungar och hävda att man fortfarande spelar schack.

[Kyano]

Det blir lätt mycket snack om oändligheter hit och dit om man försöker översätta matematiken till ett språk som den inte är defininerad på. Att blandad ihop den med vår krassa verklighet och därigenom försöka göra den mer begriplig är förmodligen lika meningslöst (matematiskt) men ack så roligt. Ungefär som att spela schack med tre kungar och hävda att man fortfarande spelar schack.

Jag tror det kallas fysik.

[Algotezza]

Ända sedan gymnasietiden har följande problem förföljt mej:

Den oändliga summan ∑ 1/(2ˆk), k=0,1,2,3,….alltså 1+1/2+1/4+…….konvergerar mot 2.
Detta innebär i klartext att summan kan aldrig bli 2 hur långt vi än räknar men kan fås godtyckligt nära 2 .

Matematiken gör anspråk på att modellera verkligheten. I verkligheten är det naturligtvis omöjligt att kontrollera riktigheten i ovanstående serie då vi inte kan halvera någonting materiellt i all oändlighet, åtminstone kvantnivån sätter en gräns.
Å andra sidan, tänkt med bonnförnuft, common sense, så bör ju alla summor växa oändligt och över alla gränser bara vi är tillräckligt ihärdiga? En ökning är alltid en ökning även om den är liten?

Matematiken här är en ren tankekonstruktion som har visat sej funka i verkligheten. Inte konstigt att Engels menade att gränsvärdet är människans största intellektuella bedrift. Vi lyfter på hatten för engelsmannen  Isaac Newton och tysken (den egentliga hjälten) Gottfried W. Leibniz.

Ett tal symboliserat av en punkt kan skenbart delas i det oändliga, eftersom en "punkt" är "lika stor" hur mycket vi än delar. En sträcka kan halveras till gränsen för meningsfullhet utifrån den projektion eller skala vi använder. Varje skala anger en övre och nedre gräns för "meningsfull storlek". Vårt upplevande är en sådan skala, men vårt upplevande kan förlängas via mikroskop och teleskop samt "i tanken". Men bortom en viss gräns förlorar begreppet storlek sin betydelse. Det återstår i princip bara ren existens. Och existensen "kan tänkas delbar i det oändliga" utan att storleksförändring sker, eftersom det inte är meningsfullt att "halvera existensen" eftersom "att vara till" inte är en egenskap. Men kanske kan man finns till till hälften?  Utgöra ett sannolikhetsmoln... ur något perspektiv...

A