Matte blir empirisk vetenskap

[Lennart]

För halvtannat år sedan berättade en matematiker i en diskussionslista att han funnit ett sätt att visa att logik är en gren av matematiken, kallad knutteori. I veclan läste jag i New Scientist att knutteori dessutom kan
stå modell för en fungerande kvantdator. Eftersom kvantprocesserna (så vitt vi vet) är den yttersta verkligheten har då äntligen matematiken kunnat fästas vid materien (liksom logiken och andra abstrakta idéer). Allt är empiri!

[MrTambourineMan]

Jag skulle hellre vilja påstå att matematiken är en gren av logiken. Det där med att "matematiken kunnat fästas vid materian" förstår jag inte riktigt. Matematiska samband är väl inte direkt något nytt inom fysiken?

[Lennart]

Inom fysiken har man alltid förundrats över hur det kommer sig att matematiken är så användbar till att modellera naturen.

[MrTambourineMan]

Det har man men jag tror man har förbisett en viktig aspekt. Inom fysiken använder man bara en liten del av matematiken. Matematikens värld är oändlig; det finns mycket matematik som inte har någon användning inom fysiken. Man skulle kunna beskriva det så här: Matematiken innefattar en oändlighet av konfigurationer/möjligheter/samband et cetera. Därför beskriver matematiken både användbara och oanvändbara saker, abstrakta idéer och konkreta verkligheter. Matematiken kan t ex användas till att modellera sådant som inte är fysiskt möjligt. Vore det då inte konstigt om man inte kunde sortera ut en användbar bit ur en oändlighet av möjligheter?

[Lennart]

Njaee...om man som du tror att matematiken är en del av logiken så betyder ju det du säger att naturen är logisk. Varför skulle den vara det?

[MrTambourineMan]

Logik är resonemang. Allt som kan beskrivas (resoneras ikring) är logiskt.

Matematik är ett formellt system som följer logiska regler.

Det finns ingen liten gubbe som säger: "nej, det där är inte logik.. det där är knutteori och det vet vi ju alla att knutteorin är det mest ologiska som finns".

[Lennart]

Om logik är resonemang what so ever, vilka är då de logiska reglerna?

[MrTambourineMan]

Jag kanske uttryckte mig lite klumpigt, men det grekiska ordet logos betyder ungefär tanke eller resonemang. Ett resonemang utmärker sig genom att man följer en slutledningskedja och beroende på vilken slutledningskedja man använder sig av resonerar man på olika sätt. Vill man beskriva naturen gäller det bara att hitta de slutledningskedjor som passar bra in där och sedan vara konsekvent.

Schack betäcknas ofta som ett logiskt spel, men har schack samma slutledningsprocess som trigonometri? Eller booleansk algebra? Eller talteori? Eller alfapet? Eller "tjung" (ett potentiellt barnspel)?

Logiken är läran om resonemang och resonemang kan appliceras på de mest skilda ställen t ex inom matematikens alla områden. Gemensamma nämnare för logiska regler är dock, att utifrån det system där de "agerar", alltid leder till teorem inom formella system och giltiga spelpositioner inom logiska spel (och om man kombinerar dem på rätt sätt: utsökta spelpositioner men det är ingen garanti).

Vi kan nu ställa upp följande flummiga definition på en logisk regel:

En logisk regel är en sådan regel att den, utnyttjad i sitt rätta system, alltid ger teorem eller giltiga spelpositioner.

De lite mer lingvistiskt lagda kan säkert formulera om den här regeln snyggare.

[Lennart]

Jag håller mej inte med en egen defintion av logik. Jag använder en lånad som känns rätt just nu. Robert Nozick ser logiken som ett filter (bland andra) som evolutionen försett oss med för att sålla bort en mängd information som vår organism ändå inte hinner bearbeta.

[MrTambourineMan]

Så hur har då den välrenommerade matematikern kunnat bevisa att knutteori = logik, utifrån Nozick-definitionen som implicerar att logik är subjektivt?

[Lennart]

Matematik är också subjektivt. En matematisk modell är en modell för hur vi tycker att världen bör vara.

[MrTambourineMan]

Inte alltid. Ofta, vill jag påstå, är en matematisk modell deskriptiv och beskriver hur världen är. Det är iaf de modellerna som ger nobelpris inom ekonomi och fysik.

Det gäller för övrigt den applicerade matematiken. Inom den rena matematiken sysslar man inte med modeller av verkligheten.

Dessutom. Om matematiken var en empirisk vetenskap, som trådens titel gör gällande, skulle subjektivitet inte ha någon plats.

[Lennart]

Varför skulle subjektivitet inte ha någon plats om matematiken som all annan kunskap vore empirisk?

[Johan Ågren]

Matematik handlar väl om teoretiskt rationella modeller, medans empiriska undersökningar ytterst handlar om subjektivt erfarande som i vissa - återigen subjektiva - mått anses vara sanna. Av denna anledning har det varit svårt att göra en matematisk modell av kvantprocesser, och fortfarande måste man kalla supersträngteorier för gåtfulla. Den empiriska kunskapen om kvantprocesserna gav oss inte en rationell teoretisk modell. Supersträngteorin ger oss en rationell teoretisk modell av samma problematik, men medför i sin tur problem. All kunskap är således inte empirisk, utan är också teoretiska - matematiska - antaganden.

Johan

[Lennart]

Skulle inte matematiska antagen tillhöra den empiriska verkligheten då? I så fall hamnar du i en ohållbar dualism.