Är världen kontinuerlig eller diskret?

[Zartax]

Det här är egentligen ett klassiskt filosofiskt problem men det kan ge roliga/skumma konsekvenser om man tänker lite på det.

Problemet:

Vi har två individer som vi kan kalla för Haren och Sköldpaddan. Dessa två individer är väldigt tävlingsinriktade och tänker ställa upp i ett sprintlopp mot varandra. Men båda är medvetna om att Haren springer 10 ggr så fort som Sköldpaddan så för att göra det lite mer spännande så får Sköldpaddan börja 10 meter före Haren. Sen går startskottet! Om vi nu väljer att observera loppet i vissa specifika punkter så uppstår ett problem.

När Haren har kommit till den punkt där Sköldpaddan startade (10 m) så har Sköldpaddan kommit 1 m. Så Sköldpaddan leder fortfarande. Om nästa punkt vi tittar i är när Haren är där Sköldpaddan var när Haren var vid 10 m, alltså 11 m så har Sköldpaddan kommit 1 dm till, och är alltså på 11.1 m från punkten där Haren startade. Om man nu successivt fortsätter att bestämma nästa punkt på samma sätt så kommer Sköldpaddan alltid att ligga före Haren, trots att Haren springer snabbare.


Om världen är kontinuerlig skulle vi kunna se hela loppet på det här sättet. Oavsett vid vilket steg vi tittar så är det alltid en punkt som Haren måste passera innan den kommer fram till Sköldpaddan.

Mellan vilka två punker som helst i en kontinuerlig värld ligger ett oändligt antal punkter. Om man vill ta sig från en punkt till en annan måste man alltså passera ett oänligt antal punkter, och på varje punkt på vägen har man fortfarande ett oändligt antal punkter kvar, oavsett var på sträckan man befinner sig.

Men vi ser ju att Haren passerar Sköldpaddan i verkliga livet(!), vilket måste betyda att vid någon tidpunkt på går Haren från den punkt där den är (bakom Sköldpaddan) till en punkt som ligger minst bredvid Sköldpaddan. Detta hopp över oändligt många kontinuerliga punkter borde ge att värden är diskret, för att det ska fungera. Antingen tiden, rummet eller både och. Är något av ovannämnda diskreta så försvinner problemet och loppet får inga komplikationer. Är båda kontinuerliga så får vi det beskrivna problemet.


Vad tror ni? Är världen kontinuerlig eller disket och om kontinuerlig, hur motiverar ni det?

[MacLaurin]

Det är ju inget problem att passera ett oändligt antal sträckor om sträckorna är oändligt små. Sköldpaddeproblemet är matematisk sett inget problem sedan några hundra år, sedan man uppfunnit analysen (derivator och sånt), så den i sig är inget bevis för diskretion.
Jag läste i Illustrerad Vetenskap för ett tag sedan att man planerade att göra ett experiment som skulle visa huruvida rumsdimensionerna var diskreta. Man skulle mäta på fotoner som man på något sätt visste hade skapats exakt samtidigt på samma plats i någon stjärna, och färdats samma väg till mottagaren. Om universum var kontinuerligt tänkte man sig att de skulle komma fram exakt samtidigt, om universum var diskret tänkte man sig att de skulle komma fram med en liten tidsförskjutning, eftersom de någonstans borde ha gjort olika "hopp" mellan de diskreta punkterna, och därmed tagit en något skild väg.
Har inte hört något mer om det, men det var ju bara några månader sedan, så det är väl fortfarande på idéstadiet.

[Jörgen]

Tävlingen förlopp kan beskrivas med binära tal:

Om haren alltid springer hälften till av den tidigare sträckan, så blir resultat 0.111... , vilket ju är lika med 1.0

1.0 minus häften är 0.1

0.111... minus hälften är också 0.1

Alltså är 0.111... lika med 1.0 vilket är förklaring varför haren inte kan komma ikapp, harar kan inte räkna.

[Zartax]

Det är ju inget problem att passera ett oändligt antal sträckor om sträckorna är oändligt små. Sköldpaddeproblemet är matematisk sett inget problem sedan några hundra år, sedan man uppfunnit analysen (derivator och sånt), så den i sig är inget bevis för diskretion.

Du syftar på gränsvärden och konvergerande summor eller? To.m. en derivata är ett gränsvärde.

Med ett gränsvärde skulle man kunna säga att positionen går mot samma position när antalet steg går mot oändligheten. Men om man gör så har man effektivt gått runt själva problemet, dvs oändligheten, och dragit en slutsats om vad som skulle hända om vi eventuellt kom dit, vilket vi aldrig gör. Men problemet kvarstår, även om du påstår att vi kan lösa det med hjälp av analys, haren har ALLTID en punkt kvar att passera innan han kommer ifatt sköldpaddan. haren är ALLTID ett steg efter. Även om de är oändligt små och han passerar i en oändligt snabb takt så finns det alltid minst en punkt kvar att passera.

Sedan så är matematik ett hjälpmedel för oss att beskriva verkligheten eller problem som finns, men för att det ska fungera måste vi först göra en riktig modell och sedan dra riktiga slutsatser av den. Bara för att vi matematiskt har definierat vad ett gränsvärde är betyder inte det att verkligheten måste lyda. Logiken i problemet kvarstår. Om du kan hitta nått fel i logiken så skulle jag med glädje ta del av det.

Att det fungerar i matematiken är för att OO + 1 = OO men du kan inte påstå att:

sum{1;n}(1/(2^k)) = 1/2 + sum{1;n}(1/(2^(k+1)))

även fast de har samma gränsvärde, eller?

Ekvationen beskriver deras avstånd från harens startpunkt vid steg n när haren springer dubbelt så snabbt som sköldpaddan men sköldpaddan börjar på halva avståndet från mål.

[suchanother]

Jag skrev i en annan tråd att problemet är att kontinuitet tolkas i en diskret modell.
Här är den matematiska modellen i allra högsta grad diskret, ett ändligt antal punkter.
Rörelsen är kontinuerlig och befinner sig aldrig vid en specifik punkt, i verkligheten kan man inte frysa rörelsen. Rörelsen passerar alla punkter men är aldrig vid en punkt utan har redan hunnit förflyttat sig från den punkten om man fixerar tiden. Här våldför man sej på två kontinuerliga egenskaper, tiden och rörelsen.
I en matematisk modell kan rörelsen fixeras med hjälp av gränsvärdet, "det oändligt lilla" som existerar endast i tanken, inte i verkligheten.

[Fockrum]

Men problemet kvarstår, även om du påstår att vi kan lösa det med hjälp av analys, haren har ALLTID en punkt kvar att passera innan han kommer ifatt sköldpaddan.

Vilken punkt skulle det vara?

Även om de är oändligt små och han passerar i en oändligt snabb takt så finns det alltid minst en punkt kvar att passera.

Någonstans blir sköldpaddan passerad. Sträckan från harens startposition till den position då haren är jämsides med sköldpaddan kan delas upp i (tänkta) delar. Det finns många sätt att göra en sådan (tänkt) uppdelning. En möjlighet är att dela upp den i oändligt många delintervall, vars totala längd givetvis är exakt densamma som den (ändliga) sträckans totala längd. Den totala tiden som krävs för att passera alla dessa delintervall är densamma som tiden det som krävs för att passera den totala sträckan, dvs. en ändlig tid.

Att det finns minst en "punkt" (snarare delintervall) kvar att passera är alltså bara sant under en ändlig tid.

[Zartax]

Jag skrev i en annan tråd att problemet är att kontinuitet tolkas i en diskret modell.
Här är den matematiska modellen i allra högsta grad diskret, ett ändligt antal punkter.
Rörelsen är kontinuerlig och befinner sig aldrig vid en specifik punkt, i verkligheten kan man inte frysa rörelsen. Rörelsen passerar alla punkter men är aldrig vid en punkt utan har redan hunnit förflyttat sig från den punkten om man fixerar tiden. Här våldför man sej på två kontinuerliga egenskaper, tiden och rörelsen.
I en matematisk modell kan rörelsen fixeras med hjälp av gränsvärdet, "det oändligt lilla" som existerar endast i tanken, inte i verkligheten.

Den matematiska modellen innehåller en oändligt antal punkter och det är just det som ställer till det. Att antalet INTE är ändligt.

Alla kontinuerliga modeller har det här problemet. Oavsett var man befinner sig och vart man ska så måste man passera ett oändligt antal punkter och oavsett hur långt man har kommit på vägen så är det alltid ett oändligt antal punkter kvar. Slutsatsen blir att man inte kan röra sig över huvud taget, UTOM om man hoppar, men då har man gjort ett diskret steg.

Sen hävdar du att om man fyser tiden så har rörelsen redan passerat punkten. Ja, och? Då är den vid nån annan punkt. Antingen är den i en punkt eller så är den inte det. Är den inte det så finns den inte. Rörelse är ju förflyttning av position, och har den ingen position så kan det inte finnas nån rörelse, eller hur?

Våldföra mig på två kontinuerliga egenskaper som tid och rörelse? Nja, det vet jag inte. Först måste vi ju komma fram till att de är just kontinuerliga, och inte som experimentet tyder på, diskreta.

Vilken punkt skulle det vara?

Vilket som helst som ligger mellan nuvarande position och målet. Sätt sedan den som nästa mätpunkt och repetera. Du kommer aldrig i mål.

Någonstans blir sköldpaddan passerad. Sträckan från harens startposition till den position då haren är jämsides med sköldpaddan kan delas upp i (tänkta) delar. Det finns många sätt att göra en sådan (tänkt) uppdelning. En möjlighet är att dela upp den i oändligt många delintervall, vars totala längd givetvis är exakt densamma som den (ändliga) sträckans totala längd. Den totala tiden som krävs för att passera alla dessa delintervall är densamma som tiden det som krävs för att passera den totala sträckan, dvs. en ändlig tid.

Att det finns minst en "punkt" (snarare delintervall) kvar att passera är alltså bara sant under en ändlig tid.

Inga invändningar mot det här, men det löser inte problemet. En del i problemet är just att vi inte kommer vidare i tiden. Modellen (kontinuetet) falerar (eller kanske låser sig) i experimentet.

[Fockrum]

Vilket som helst som ligger mellan nuvarande position och målet. Sätt sedan den som nästa mätpunkt och repetera. Du kommer aldrig i mål.

Med vissa sätt att välja ut sådana mätpunkter kan haren förvisso bli tvungen att passera oändligt många sådana mätpunkter. Men avståndet mellan två närliggande mätpunkter krymper mycket fort och antalet mätpunkter som passeras per tidsenhet växer utan gräns. På sätt så kommer alla oändligt många mätpunkter ändå att passeras på ändlig tid. Det är alltså inte sant att haren, eller "du", aldrig kommer i mål.

Att det finns minst en "punkt" (snarare delintervall) kvar att passera är alltså bara sant under en ändlig tid.

Låt mig införa dessa två antaganden:

I. Avståndet från loppets startlinje till sköldpaddans masscentrum förändras enligt s(t) = 10 + t, för tider t i intervallet 0 <= t <= 10. (Med lämpligt val av avstånds- och tidsenheter.)

II. Avståndet från loppets startlinje till harens masscentrum förändras enligt h(t) = 10 t, för tider t i intervallet 0 <= t <= 2. (Med samma val av avstånds- och tidsenheter som i antagande I.)

Finns det något i dessa antaganden som är problematiskt är motsägelsefullt?

[J R Auk]

Det räcker med att fråga sig hur många av dom punkter som haren har kvar tills sköldpaddan haren avverkar under tiden sköldpaddan avverkar en.
Eller ska vi ha separata referensramar för dom båda?

Angående din fråga så tror jag världen bara är, ständigt och alltid.
Då hamnar frågan på vad vår perception är, om den är kontinuerlig eller inte. Algotezza hade några intressanta tankenötter angående uppfattningen av rytm och tidens intervaller. Kommer inte ihåg tråden men ni hittar nog.

[MacLaurin]

Att det fungerar i matematiken är för att OO + 1 = OO men du kan inte påstå att:

sum{1;n}(1/(2^k)) = 1/2 + sum{1;n}(1/(2^(k+1)))

även fast de har samma gränsvärde, eller?

Ekvationen beskriver deras avstånd från harens startpunkt vid steg n när haren springer dubbelt så snabbt som sköldpaddan men sköldpaddan börjar på halva avståndet från mål.

Jag är inte bekant med notationen du använder, men jag antar att du menar sum som i summan av alla 1/(2^k) då k går från 1 till n. Uppenbart kanske man kan tycka, men bäst att vara säker.

sum{1;n}(1/(2^k)) = 1/2 + sum{1;n-1}(1/(2^(k+1))). Om nu n är oändligt så är ju n-1 = n och då är just sum{1;n}(1/(2^k)) = 1/2 + sum{1;n}(1/(2^(k+1))). Alltså ekvationerna är lika om n är oändligt!

Nu är ju det som du sade bara en matematisk modell, och inte nödvändigtvis en förklaring, men å andra sidan, varför skulle inte saker och ting kunna gå mot oändliga småheter? Bara för att det är svårt att tänka sig innebär det ju inte att det inte är så. Den matematiska modellen kan ju faktiskt bevisas experimentellt  :)

[Zartax]

Utan att besvara inläggen ovan mer noggrant så tar jag mig friheten att utveckla det hela lite.

Problemet ligger inte i att beskriva loppet utifrån ett verkligt perspektiv. Det är lätt. Frågan är om det går att beskriva loppet på ett sådant sätt att beskrivningen ligger inom modellens ramar (i det här fallet kontinuitet) så att det hela falerar/inte stämmer med verkligheten. Kan vi det har vi visat att modellen inte är hållbar för alla beskrivningar av verkligheten inom modellen och då måste vi redigera modellen.

Så min beskrivning är den jag presenterade i första inlägget. Vi tittar på loppet i vissa ögonblick. Dessa ögonblick väljs så att vi tittar på loppet varje gång haren passerar den punkt sköldpaddan var i förra observationen. Detta borde vara tillåtet i ett kontinuerligt system? Resultatet blir att vi inte kan observera när haren passerar sköldpaddan eftersom sköldpaddan, i en kontinuerlig värld, alltid kommer en bit när en tid passerar, oavsett hur liten tid. I verkligheten ser vi passagen och slutsatsen blir då att:

Antingen är min beskrivning inte inom kontinuitetens ramar,

eller, så är kontinuitet inte en bra beskrivning av verkligheten.

[suchanother]

Den matematiska modellen innehåller en oändligt antal punkter och det är just det som ställer till det. Att antalet INTE är ändligt.

Ok, ursäkta, kom in på ett sidospår refererade till "sköldpaddan" problemet.
Du har rätt.

[Fockrum]

Vi tittar på loppet i vissa ögonblick. Dessa ögonblick väljs så att vi tittar på loppet varje gång haren passerar den punkt sköldpaddan var i förra observationen.

Så du väljer att blunda vid alla andra tillfällen, i synnerhet efter det att sköldpaddan passerats?

Detta borde vara tillåtet i ett kontinuerligt system?

Självfallet är du fri att endast titta på det du finner intressant. Det är dock inte samma sak som att endast det du väljer att titta på finns.

Resultatet blir att vi inte kan observera när haren passerar sköldpaddan eftersom sköldpaddan, i en kontinuerlig värld, alltid kommer en bit när en tid passerar, oavsett hur liten tid.

Detta är ju som redan påpekats inte sant. Sköldpaddan kommer enligt modellen att passeras och det kommer finnas tidpunkter då haren förflyttat sig längre än sköldpaddan. Den verkliga anledningen till att du inte kan "observera" detta är att du på förhand valt att endast studera tidpunkter som inträffar före det sker (tidpunkter just då haren passerar en punkt som sköldpaddan redan passerat, vilket per definition exkluderar tidpunkter då haren redan har passerat sköldpaddan).

[Zartax]

Så du väljer att blunda vid alla andra tillfällen, i synnerhet efter det att sköldpaddan passerats?

Nej, jag väljer inte att blunda då, jag tittar och tittar! Men hur "länge" jag än tittar passeras aldrig sköldpaddan. Om jag gör ett längre hopp så kan jag se sköldpaddan passeras, men då har jag gått ifrån principen i den kontinuerliga modellen och gått över till en diskret.

Självfallet är du fri att endast titta på det du finner intressant. Det är dock inte samma sak som att endast det du väljer att titta på finns.

Givetvis finns det mer. Nått annat har jag aldrig påstått. Men man kan aldrig ta sig dit.

Detta är ju som redan påpekats inte sant. Sköldpaddan kommer enligt modellen att passeras och det kommer finnas tidpunkter då haren förflyttat sig längre än sköldpaddan. Den verkliga anledningen till att du inte kan "observera" detta är att du på förhand valt att endast studera tidpunkter som inträffar före det sker (tidpunkter just då haren passerar en punkt som sköldpaddan redan passerat, vilket per definition exkluderar tidpunkter då haren redan har passerat sköldpaddan).

Ja, i praktiken finns det tidpunkter där haren har kommit längre än sköldpaddan. Men vad du har gjort nu när du tittar i den punkten är att du har gjort ett diskret hopp till en tidpunkt då haren har passerat sköldpaddan. Försök att ta dig dit UTAN att göra ett diskret hopp.

Vad jag försöker göra här är att särskilja en diskret tolkning av verkligheten från en kontinuerlig. I båda kan man välja att titta efter haren har passerat sköldpaddan men bara i den kontinuerliga kan man välja ett oändligt antal tidpunkter på ett sådant sätt att haren aldrig passerar sköldpaddan. Den stora skillnaden som ger detta fenomen är att i en diskret tolkning kan man inte välja att titta i vilken punkt som helst medan man i en kontinuerlig kan det. Jag har en känsla av att du redan förstått vad jag menar men inte är villig att acceptera det (eller så är det jag, hehe) för att du är så invand med att världen ska vara kontinuerlig. Jag tänkte nu ställa upp ett par påståenden och du får gärna påpeka om nått påstående är felaktigt.


Kontinuerlig modell

1. Alla intervall innehåller oändligt många punkter.

2. Mellan två godtyckliga punkter inom ett intervall ligger ett annat intervall.

3. För att flytta sig mellan två godtyckliga punkter måste man passera ett intervall (enl. 2).

4. För att komma till första punkten i intervallet så måste vi passera ett intervall (enl. 3.) vilket ger att det inte längre är första punkten.

5. Det finns ingen första punkt att förlytta sig till.

6. Det går inte att förflytta sig eftersom det inte finns nånstans att ta vägen, utom om vi gör ett ändligt litet hopp.

7. Om vi är tvugna att göra ett ändligt litet hopp är det inte kontinuerligt längre.

[Fockrum]

5. Det finns ingen första punkt att förlytta sig till.

6. Det går inte att förflytta sig eftersom det inte finns nånstans att ta vägen, utom om vi gör ett ändligt litet hopp.

Varför skulle man behöva en första punkt att förflytta sig till? Man rör ju sig kontinuerligt!