Grundläggande matematik

[PopJimmy]

Jag har funderat lite kring matte och det är vissa saker jag funderar kring...

Matte tycks för mig främst inte handla om "diskreta enheter" utan snarare om förhållanden.

Varför tycker många att matte är tråkigt? För att det är abstrakt?

Jag kan hålla med om att matematik är abstrakt i en mening, men i en annan mening så håller jag absolut inte med om att matte är abstrakt.

Det är abstrakt i fråga om generellt, dvs det är ett språk. Jag upplever att alla språk är abstrakta, dvs de generaliserar och detta gör dem användbara, dvs de kan appliceras på många olika (konreta) fall.

Matematik säger inget om siffrorna i fallen, utan bara om propotionella förhållanden vilka sifforna förhåller sig till, och det är därför matte upplevs som abstrakt. Vi räknar helt enkelt inte med praktiskt meningsfulla siffror.


Abstrakt betyder INTE att den är "torr" osv. Abstrakt innebär att förklara ett förhållande som stämmer på flera (konkreta) fall, om vi inte har några konkreta fall att knyta an till, så kan abstraka saker upplevas som "torr".


Därför är pedagogik viktigt vid matematik.


Jag har nyligen börjat bryta igenom lite i min förståelse kring matematik, jag menar, jag har alltid varit duktig på matte, men nu har jag en filosofisk förståelse som backar upp den.


Matte handlar alltså om hur något förhåller sig. Vidare så förhåller sig allting alltid till något annat. Matte är alltså bara användbart då vi har något att förhålla oss till, precis som vilken annan kunskap som helst.

Pedagogik handlar om att skapa ett intresse och engagemang kring något konkret och utforska detta konkreta.


Pedagogik och inlärning är synonymt med utveckling, att lära och att utvecklas är alltså samma sak.

För att lära sig något behöver man ett konkret material, ofta med en emotionell koppling. Ska man lära sig spela gitarr är en låt man gillar ett bra underlag. Ska man lära sig matematik så är ett konkrek problem a och o.

Anta att vi har ett konkrek-fall: Jag har 1000 kr och ska tanka min bil med bensin som kostar 10 kr/liter. Hur många liter kan jag tanka? Jo för att förstå hur det förhåller sig i denna fråga så måste jag klargöra variablerna och deras förhållande.

Vi har
P = mina pengar
10/1 = kostnad/liter
L = liter bensin

omräknat med enheter:

P*K = mina pengar (summa-Pengar i Kronor)
10*K / 1*L = kostnad/liter  (10Kronor per 1Liter)
L = liter bensin

Som vi kanke insett har vi redan förhållandet givet, nämligen kostnad / (per) liter.

Jag vill alltså argumentera för att * och / operatioerna är mycket mer centrala för matematiskt förståelse än addition och subtraktion, eftersom de representerar förhållande/skala.

Kod: Markera allt

P*K   =  10*K      =      p = 10*K/1*L          
           ------
              1*L


grundläggande förhållande (jag har å ena sidan 1000 kr, å andra sidan uppgiften att liter förhåller sig till kr i propotionen/skalan 10:1 eller 10/1



1000*K =  10*K             grundläggande förhållande med mina värden
               ------
                1*L


1000*K*L =  10*K*L          (matematisk regel: att gångra båda sidor proptionellt behåller förhålladerna intakta, dvs jag gångrar med *L på uppe på båda sidor)
                  ------
                      1*L




1000*K*L =  10*K          
                  ------
                      1
(matematisk regel: att dela en sida uppe+nere propotionellt behåller förhållanderna intakta, dvs jag delar bort *L i högra spalten - denna operation plus förra resulterar i att jag kastar om L:et från botten på högra spalten till toppen på väntra)






1000*K*L  =     1*K    (gör samma sak här fast delar med 10, vilket gör att jag "kastar ner" 10an)
 ------           ------
   10                 1

100*K*L  =     1*K
 ------           ------
   1                 1


100*K*L  =     1
 ------           ------
   1*K              1


100*L  =     1
 ------       ------
   1              1



100*L  =     1


100*L


Så vad är det jag här har gjort? Jag har rett ut förhållanderna mellan mina 1000 kr och literpriset på 10kr per 1 liter.


vidare är detta ekelt att representera i en graf, då varje axel innebär en variablel

Kod: Markera allt

               Kronor
                  |         /                
                  |       /                  
                 10    *                  
                  |    /                      
                  |  /                        
                  |/                          
  -------------/-----1------2--       Liter
                 /|                        
               /  |                        
             /    |                        
           /      |                        
         /        |                        
                  |                        

Matemaktik handlar alltså, precis som filosofi att härleda förhålllanden.





Hur kommer det sig att jag postar detta nu? Jo, jag har nänligen insett att det är just förhållanderna som är det viktiga i matematik, precis som i vilket annat språk som helst.

[PopJimmy]

Alltså en del av poängen är att man har ett förhållande (vanligtvis kallat formel) och det man gör när man räknar är att behålla "formeln intakt".

Det vill säga, det är precis som i logiken. I logiken finns redan allting man härleder "implicit" i ens egna antaganden, det man gör är att klargöra explicit i hur ett enskillt antagande förhåller sig till alla de andra, genom att lyfta "fram detta" ur de implicita förhållande/formel/premiss man har.

Det är alltså "egentligen" ingen "ny" information som "tillkommer", allt "finns" redan "där". Det är alltså en fråga om urtforskande av det som redan existerar, man "penetrerar" så att säga "komplexiteten" och skapar en egen "inre struktur" eller representation av en yttre komplexitet....



Observera att jag själv inte läst mer än matte c, och inte läst mycket logik etc. Jag har mest arbetat med programmering...

[suchanother]

Jag vill alltså argumentera för att * och / operatioerna är mycket mer centrala för matematiskt förståelse än addition och subtraktion, eftersom de representerar förhållande/skala.

I modern algebra är operationerna multiplikation, a*b, och addition, a+b, de viktiga.
När talsystemet utvidgas till negativa tal (tal <0) och rationella tal (tal på formen a/b där a och b är heltal, b ej noll)  behövs egentligen inte subtraktion, a-b, inte heller division, a/b. Subtraktion är då addition av ett negativt tal, a-b=a+(-b) och division är multiplikation av ett rationellt tal med ett heltal a/b=a*(1/b).
Nu används ändå subtraktion och division men bara av praktiska skäl, men dessa operationer är som sagt inte nödvändiga.

[Wintran]

Det här är intressant. Jag tror att matematik i grunden är fullständigt empirisk och grundar sig på konkreta fenomen vi kan observera i verkligheten. Siffror t.ex. är bara en språklig gestaltning av vår förmåga att generalisera och finna upprepningar. Operatorer såsom addition och subtraktion är bara en utveckling av detta räknekoncept genom ytterligare logiska fenomen som går att applicera i verkligheten.

Barn lär sig t.ex. räkna genom att använda äpplen eller andra objekt och bilder, för att få en tydligare verklighetsförankrad förståelse för detta grundläggande koncept. Det är den viktigaste delen av matten, att få förståelse för olika övergripande fenomen i vår vardag. Precis som Pop säger anser jag sedan att matten handlar om att lära sig ett språk för att formulera dessa fenomen och därigenom bättre kunna dra nytta av vår förståelse för dem i mer konkreta sammanhang.

Jag har själv dålig koll på matte. Någon som kan ta upp andra matematiska grunder än just räkning, för att fundera vidare över vilka vardagliga fenomen dessa ämnar gestalta?

[Fication]

Matemaktik handlar alltså, precis som filosofi att härleda förhålllanden.

Ja, det kan man nog säga.

För att lära sig något behöver man ett konkret material, ofta med en emotionell koppling. Ska man lära sig spela gitarr är en låt man gillar ett bra underlag. Ska man lära sig matematik så är ett konkrek problem a och o.

Som jag ser det finns det två sätt att lära sig matematik och liknande ämnen - antingen utgår man från det konkreta och lär sig att generalisera, som du och wintran föreslår, eller också utgår man från lagen, förhållandet, det generella och lär sig tillämpa det på konkreta fall.

Det senare är vad du försöker göra i den här tråden, och med livet om jag förstått dig rätt. Så fungerar jag också.

Pedagogik inom matematik och liknande ämnen är coolt. Trots att det är så rationellt och regelstyrt, eller kanske tack vara, så är det mycket psykologi inblandat.

[Zokrates]

Jo, jag har nänligen insett att det är just förhållanderna som är det viktiga i matematik, precis som i vilket annat språk som helst.

Lustigt. Jag såg en dokumentär om ett ursprungsfolk från nya zeeland, vill jag minnas. När en man fick frågan hur många barn han hade så kunde han inte svara på frågan.
Istället började han nämna barnens namn.

De använde sig endast av matematik när de idkade byteshandel. De hade ett talsystem. Varornas värde byggde på ett abstrakt tänkande,
det inbördes förhållandet mellan olika varor beroende på tillgång och efterfrågan.

Ingen i byn hade ens kommit på tanken att applicera detta system på människor. Jag förstår varför.