Frågor om Cantors teorem

[Justin Case]

Funderar över Alef0, den oändliga mängden naturliga tal.

Enligt Cantors (mest kända) teorem är 2^Alef0>Alef0, trots att t.ex. Alef0^2 inte är större än Alef0. Enligt Cantor är vissa oändliga mängder så att säga "tätare", och därmed större, än vissa andra oändliga mängder.

Nu undrar jag: i ekvationen 2^x=Alef0, är x mindre än Alef0? Om Alef0, i ekvationen 2^x=Alef0, förhåller sig till x som 2^Alef0 förhåller sig till Alef0 - vilket tycks mig vara det logiska att förvänta sig - är x, i ekvationen 2^x=Alef0, mindre än Alef0. Då Alef0 är den minsta oändliga mängden, måste x således vara en ändlig mängd. Alef0 kan alltså tydligen fås genom att man tar 2 upphöjt till en ändlig mängd. Kan det verkligen vara så? Vad är i så fall x, uttryckt i siffror? När jag ställer denna fråga inser jag att det här måste vara fel spår. Man kan väl inte få Alef0, en oändlig mängd, genom att upphöja 2 till ett tal som (om än bara teoretiskt) kan uttryckas i siffror?

Det enda alternativ som återstår att pröva är att x=Alef0 (i ekvationen 2^x=Alef0). Men då får vi att 2^Alef0=Alef0, och det motsäger Cantors teorem. Så hur man än gör tycks det sluta i antingen en orimlighet (att man kan få en oändlig mängd genom att upphöja 2 till ett ändligt tal) eller en motsägelse av Cantors teorem.

Så hur är det egentligen med x, i ekvationen 2^x=Alef0? Är det mindre än Alef0 eller inte?

En liknande fråga:
Det är ingen tvekan om att 1^Alef0<Alef0.
Enligt Cantors teorem är 2^Alef0>Alef0.
Hur är det då med 1,5^Alef0? Är det större än, mindre än, eller lika med, Alef0?

[Dura M]

Så hur är det egentligen med x, i ekvationen 2^x=Alef0? Är det mindre än Alef0 eller inte?

Det finns helt enkelt inget tal x som löser ekvationen. Lösningsmängden är tom.

[suchanother]

Då Alef0 är den minsta oändliga mängden, måste x således vara en ändlig mängd. Alef0 kan alltså tydligen fås genom att man tar 2 upphöjt till en ändlig mängd.

Alef0 är inte en mängd utan ett tal (kardinaltal). Du blandar ihop tal och mängd. Du kan inte upphöja 2 till en mängd, saknar mening.

[Dura M]

Alef0 är inte en mängd utan ett tal (kardinaltal). Du blandar ihop tal och mängd.

Korrekt, men det kan man kanske ha överseende med i sammanhanget.

Du kan inte upphöja 2 till en mängd, saknar mening.

Vad som avses är potensmängden till en mängd. Du har alltså en mängd M. Potensmängden till M kan skrivas 2^M. Frågan är nu: finns det någon mängd M sådan att 2^M har kardinaliteten Alef0, och vilken kardinalitet har i så fall M?

Det är en meningsfull fråga. Svaret är att något sådant M inte finns.

Vad som däremot inte är en meningsfull fråga är det som kommer på slutet. Vad skulle det betyda att ta "1,5 upphöjt till Alef0"? Vilken mängdoperation skulle det motsvara?

[suchanother]

Jo, jag förstod vad Justin egentligen menade. Men jag har faktiskt aldrig sett skrivsättet 2^M för en potensmängd, brukar ju annars betecknas som P(M). Antalet element i P(M) är 2^M där M är kardinaltalet för M.

Sen håller jag med dej att ekvationer typ 1,5^M är meningslösa då 1,5 är inget kardinaltal (till skillnad från naturliga tal 0, 1, 2,….) det är som att blanda äpplen och päron.

[Justin Case]

Då Alef0 är den minsta oändliga mängden, måste x således vara en ändlig mängd. Alef0 kan alltså tydligen fås genom att man tar 2 upphöjt till en ändlig mängd.

Alef0 är inte en mängd utan ett tal (kardinaltal). Du blandar ihop tal och mängd. Du kan inte upphöja 2 till en mängd, saknar mening.

Blandade ihop termerna. Men då både x och alef0 är tal, omintetgörs din invändning att man inte kan upphöja 2 till en mängd.

[Justin Case]

Jo, jag förstod vad Justin egentligen menade. Men jag har faktiskt aldrig sett skrivsättet 2^M för en potensmängd, brukar ju annars betecknas som P(M). Antalet element i P(M) är 2^M där M är kardinaltalet för M.

Jag borde bara ha pratat om tal hela vägen, inser jag. Det är bara talen jag intresserar mig för. Jag menar att logiskt sett borde det finnas ett tal 2^x som är lika med alef0, på samma sätt som det finns ett tal 2^alef0 som är lika med alef1, och ett tal 2^alef1 som är lika med alef2, osv.

Att fråga vad x är, i ekvationen 2^x=alef0, är kanske som att fråga något om den nollte dimensionen? Jag tänker på att storleksförhållandet mellan alef1 och alef0 ibland förklaras som förhållandet mellan en oändligt stor yta (två dimensioner utnyttjade gränslöst) och en oändligt lång linje (en dimension utnyttjad gränslöst). Det som kommer strax under alef0 i storlek borde då logiskt sett vara den nollte dimensionen utnyttjad gränslöst, eller med andra ord "en oändligt A:ig punkt", där "A:ig" är det adjektiv som följer logiskt "under" adjektivet "lång" (adjektivet som används för linjer), på samma sätt som adjektivet "lång" följer strax "under" adjektivet "stor" (adjektivet som används för ytor)? Kan det vara konstruktivt att tänka så? Finns det något vedertaget svenskt ord för A:ig?

[Justin Case]

Det kan verka meningslöst att tala om en nollte dimension; inget kan väl existera i färre än en dimension, tycker man ju. Eller rättare sagt: inget vi känner till kan existera i färre än en dimension.

Men det är ju även sant att inget vi känner till kan existera i endast en respektive endast två dimensioner!

Så länge något inte finns fyrdimensionellt (i både tre rumsdimensioner och i den fjärde dimensionen tiden), finns det ju inte (i vår värld). En yta utan tjocklek och en linje utan bredd har ingen massa, alltså finns de inte. Alltså borde det inte vara mer meningslöst att tala om hur A:igt (se föregående inlägg för definition) något är i den nollte dimensionen, även om detta något saknar utbredning i övriga dimensioner, än att tala om hur långt något är i den första dimensionen som inte finns i fler än en dimension eller hur stort något är i de två första dimensionerna som inte finns i fler än två dimensioner.

Nu är väl kanske den första respektive andra dimensionen bara metaforer för alef0 respektive alef1. Men om ett argument för extrapolering av en metafor tillbakavisas med hänvisning till att extrepoleringen är meningslös (som när talet om en nollte dimension tillbakavisas med hänvisning till att inget kan existera i en nollte dimension), och den tillbakavisningen kan tillbakavisas med hänvisning till att samma sak som gör extrapoleringen meningslös borde göra att även det man extrapolerade var meningslöst från början (som när invändningen att inget kan existera i en nollte dimension besvaras med att inget kan existera i enbart en eller enbart två dimensioner heller), kan man börja undra om metaforen leder fel även på andra sätt. Är således metaforen dimensioner en dålig metafor för alef-talen?

[Justin Case]

Alternativt: om dimensioner är en bra metafor för alef-talen, kanske följer av ovanstående att matematiken via ovanstående extrapolering av cantors teorem indirekt bevisar att det finns en nollte dimension! Och logiskt sett finns då även en -1:a, en -2:a, en -3:e dimension och så vidare. Och varför inte en halvte dimension, en dimension nummer en och en halv, en dimension nummer 1,498, en dimension nummer Pi, en dimension nummer alef0, en dimension nummer alef-Pi, en dimension nummer alef-alef-Pi, osv.

[Dura M]

Jag borde bara ha pratat om tal hela vägen, inser jag. Det är bara talen jag intresserar mig för. Jag menar att logiskt sett borde det finnas ett tal 2^x som är lika med alef0, på samma sätt som det finns ett tal 2^alef0 som är lika med alef1, och ett tal 2^alef1 som är lika med alef2, osv.

Du har ju själv - någorlunda logiskt - argumenterat för varför ett sådant tal inte kan finnas. Du kom fram till att antagandet att ett sådant tal finns leder till orimligheter och motsägelser. Vill du verkligen förstå detta måste du dock se på det mängdteoretiskt. Att säga att du bara intresserar dig för tal och inte för mängder blir absurt i en diskussion om Cantors sats. Cantors sats är en mängdteoretisk sats.

[Justin Case]

Jag borde bara ha pratat om tal hela vägen, inser jag. Det är bara talen jag intresserar mig för. Jag menar att logiskt sett borde det finnas ett tal 2^x som är lika med alef0, på samma sätt som det finns ett tal 2^alef0 som är lika med alef1, och ett tal 2^alef1 som är lika med alef2, osv.

Du har ju själv - någorlunda logiskt - argumenterat för varför ett sådant tal inte kan finnas. Du kom fram till att antagandet att ett sådant tal finns leder till orimligheter och motsägelser.

Jag tyckte tvärtom att jag kom fram till att Cantors sats leder till att det måste finnas en nollte dimension osv. Om en nollte dimension osv är en orimlighet (vilket jag inte alls är säker på) anser jag alltså att mitt resonemang ovan visar att även Cantors sats är orimlig.

Vill du verkligen förstå detta måste du dock se på det mängdteoretiskt. Att säga att du bara intresserar dig för tal och inte för mängder blir absurt i en diskussion om Cantors sats. Cantors sats är en mängdteoretisk sats.

Jag antar att det är så matematiker ser på det. Har du något bra tips på läsning som relativt snabbt förklarar enbart det jag undrar över, eller måste man lära sig en massa annat först, för att förstå?

[Dura M]

Jag tyckte tvärtom att jag kom fram till att Cantors sats leder till att det måste finnas en nollte dimension osv. Om en nollte dimension osv är en orimlighet (vilket jag inte alls är säker på) anser jag alltså att mitt resonemang ovan visar att även Cantors sats är orimlig

Vad jag syftade på var detta:

"Så hur man än gör tycks det sluta i antingen en orimlighet (att man kan få en oändlig mängd genom att upphöja 2 till ett ändligt tal) eller en motsägelse av Cantors teorem."

Här är du snubblande nära en korrekt slutsats, men hamnar ändå snett på något sätt. Cantors sats är just en sats så den är alltså redan bevisad i den aktuella teorin. (Om du trodde att det var ditt prat om dimensioner jag kallade "någorlunda logiskt" misstog du dig svårt. Det var bland det snurrigaste jag har läst.)

Jag antar att det är så matematiker ser på det. Har du något bra tips på läsning som relativt snabbt förklarar enbart det jag undrar över, eller måste man lära sig en massa annat först, för att förstå?

Vet inte vad du behöver läsa för att förstå. Vet inte riktigt vad det är du undrar över heller för den delen. Svaret på din ursprungliga fråga ("Så hur är det egentligen med x, i ekvationen 2^x=Alef0? Är det mindre än Alef0 eller inte?") är alltså att det inte finns något x som löser ekvationen. Vet inte varför du har svårt att ta det till dig. Att en ekvation kan sakna lösning borde inte vara någon nyhet.

[suchanother]

Det intressanta i mängdteorin är dessa paradoxer med ”lika många element” i två mängder.
När man i mängdteorin säger att två mängder har lika många element så menar man att varje element i den första mängden kan entydigt paras ihop med ett element i den andra mängden och v.v.
Ta t ex (ändliga) mängderna {1, 2, 3} och {4, 5, 6}, i mängdteorin ”räknar” man inte utan parar ihop, förslagsvis 1-4, 2-5, 3-6, och i mängdteoretisk mening har båda mängderna lika många element eftersom vi har lyckats para ihop varje element i den första mängden med ett och endast ett element i den andra mängden, och samma har vi gjort för den andra mängden.

Härifrån hämtas nu idéen att två mängder har lika många element om denna ”parning” är genomförbar.
Fullföljs denna idé till oändliga mängder hamnar man direkt i paradoxer, som denna;
Vi har två oändliga mängder, de naturliga talen N={0, 1, 2, 3,…} och de udda talen U={1, 3, 5,…}. Nu är ju U en (äkta)delmängd till N, innebär att varje element i U är också ett element N, men ej tvärtom d v s det finns element i N som inte finns med i U.
Men ändå har båda mängderna lika många element! Vi gör parningen genom funktionen n → 2*n + 1, n = 0, 1, 2, 3…

Helt klart en paradox då en ”mindre” mängd har lika många element som en ”större” mängd.
Vill man kritisera Cantor så måste man kritisera detta sättet att tänka. Visst, lätt att känna sej obekväm, nåt är galet men vadå? Karlns resonemang är ju logiskt oantastbart men ändå känner man nåt är galet. Härligt med paradoxer!
Matematiker hade i början svårt att smälta Cantors idéer. Än idag läser man ibland ”mängderna har lika många element i viss mening”. Vad säger man?

[Dura M]

Det som gör att det upplevs som paradoxalt är ju att våra intuitioner kring oändliga antal är motstridiga, inte att det skulle vara något tokigt med Cantors sats. Man skulle naturligtvis kunna definiera antal på ett sätt som gör att de udda heltalen blir färre än heltalen, men även det skulle strida mot intuitionen.

[Justin Case]

Man skulle naturligtvis kunna definiera antal på ett sätt som gör att de udda heltalen blir färre än heltalen, men även det skulle strida mot intuitionen.

Inte mot min intuition. Om jag är odödlig är jag hellre lycklig varje dag än varannan dag. Är inte du? Oändliga mängder kan vara olika stora, det medgav ju Cantor. Varför skulle då inte även antalet heltal och antalet udda tal vara olika stora?

Att varje unikt heltal går att para ihop med ett unikt udda tal bestrider jag. Det skulle ta en evighet att para ihop alla heltal med alla udda tal, om det alls vore möjligt. Eftersom det skulle ta en evighet (om det vore möjligt), kan man aldrig komma till en tidpunkt då man parat ihop alla de där talen. Alltså går det inte att göra. Alltså går det inte att bevisa att antalet udda tal är lika med antalet heltal. Därmed återstår att låta intuitionen avgöra frågan. Min intuition säger att antalet heltal är dubbelt så stort som antalet udda tal. Jag ser inget motsägelsefullt i det.