raum

[Modul]

Topologi bygger ju på mängdteori som i sin tur bygger på predikatlogik (eller?). Är det då meningsfullt att titta på topologiska rum av predikatlogiska satser?

[användaretre]

Topologi bygger ju på mängdteori som i sin tur bygger på predikatlogik (eller?). Är det då meningsfullt att titta på topologiska rum av predikatlogiska satser?

Först och främst så vet jag inte om detta är meningsfullt eller inte. Men med lite god vilja kanske man kan säga att detta är ett topologiskt rum av predikatlogiska satser...

X är en mängd (av predikatlogiska satser) tillsammans med en mängd T (av predikatlogiska satser) av delmängder till X som uppfyller

1) unionen av en uppsättning mängder i T ligger också i T,
2) snittet av en ändlig uppsättning mängder i T ligger i T,
3) tomma mängden och X ligger i T.

[suchanother]

Ja, det var definitionen av topologiskt rum, användaretre.
Fast 3) känns lite onödig. Den tomma mängden tillhör alltid ett topologiskt rum per definition så du behöver inte explicit uttrycka detta.

[Stefan]

Topologi bygger ju på mängdteori som i sin tur bygger på predikatlogik (eller?). Är det då meningsfullt att titta på topologiska rum av predikatlogiska satser?

"Bygger på" är lite vagt. Dom mängdteoretiska axiomen är formulerade i predikatlogik, visst. Däremot är det inte så att mängd reduceras ner till rent logiska begrepp, som konnektiven, kvantifikatorerna, etc.

[användaretre]

Ja, det var definitionen av topologiskt rum, användaretre.
Fast 3) känns lite onödig. Den tomma mängden tillhör alltid ett topologiskt rum per definition så du behöver inte explicit uttrycka detta.

Definitionen av den tomma mängden uttrycks inte i termer av topologiska rum. Definitionen av ett topologiskt rum är, precis som du påpekade, den ovan. Du kanske menade att 3) följer av 1) och 2)? Jag ställde denna fråga, detta är svaret:



Hej! Def: Ett topologiskt rum är en mängd X tillsammans med en mängd T av delmängder till X som uppfyller
1) unionen av en uppsättning mängder i T ligger också i T,
2) snittet av en ändlig uppsättning mängder i T ligger i T,
3) tomma mängden och X ligger i T.
Fråga: Är 3 nödvändig? Finns det T och X som uppfyller 1 och 2 utan att uppfylla 3?

Svar:

Det beror på vad man menar med uppsättning. Om en uppsättning förutsätts bestå av minst en mängd följer inte 3) av 1) och 2). Man kan ju låta T = {X}. Då är 1) och 2) uppfyllda men Ø tillhör inte T. Man skulle i stället kunna låta T = {Ø}. Då är också 1) och 2) uppfyllda men X tillhör inte T.

Om man även tillåter tomma uppsättningar kan man med litet logiskt hårklyveri hävda att 1) och 2) medför 3). Tänker man efter så inser man att unionen av alla mängder i tomma mängden bör vara Ø och snittet av alla mängder i tomma mängden bör vara X. Unionen av alla mängder i tomma mängden karakteriseras ju av att den består av alla x som är sådana att det finns en mängd U i Ø sådan att x ∈ U. Detta är inte sant för något x. Snittet av alla mängder i tomma mängden är mängden av alla x som är sådana att om U tillhör Ø så gäller det att x ∈ U. Eftersom förleden i denna implikation alltid är falsk och en implikation är sann om förleden är falsk så uppfyller alla x detta villkor.