Matematik

[Stefan]

Man talar ofta om "de naturliga talen", men finns det inte egentligen två användningar av tal? För det första har vi "första, andra, tredje", för det andra har vi "ett, två, tre". Dessa två utgör två olika grammatiska kategorier: "ordningstal" och "grundtal".

http://hem.passagen.se/bondpa/grammatik/rakn.html


"Ett", "två", etc. tycks mig vara egenskaper hos mängder: en mängd har 0 element omm dess enda delmängd är den tomma mängden, etc. "Första", "andra", etc. tycks mig vara egenskaper hos objekt: "Pelle kommer först", etc.

Dessa verkar vid första anblick vara olika begrepp. Kan något av dem reduceras till det andra och i så fall hur? Både formella och informella resonemang uppskattas.

[Kyano]

ett är det första talet, två är det andra, tre är det tredje, fyra är det fjärde... osv

Rent språkligt verkar ju "första" och "andra" inte vara lika besläktade med grundtalen som de övriga ordningstalen. Kanske dessa begrepp uppkom oberoende av mängder.

[Stefan]

ett är det första talet, två är det andra, tre är det tredje, fyra är det fjärde... osv

Brukar man inte räkna att 0 är det första naturliga talet?

Rent språkligt verkar ju "första" och "andra" inte vara lika besläktade med grundtalen som de övriga ordningstalen. Kanske dessa begrepp uppkom oberoende av mängder.

Intressant.

[Kyano]

Om vi konsulterar svenska wikipedia:

Talet 0 räknas ibland som naturligt, bl.a. eftersom detta förenklar den mängdteoretiska definitionen av naturliga tal, men denna konvention förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker.

Själv tycker jag noll rent intuitivt är ganska onaturligt som ett tal. Jag tycker det känns naturligt att kalla det´"det nollte talet".

Detta ord finns ju förövrigt. Tillexempel en kemisk reaktion av nollte ordningen, eller termodynamikens nollte huvudsats.

[Tomas Brolins målgest]

Oswald Spenglers teorier om matematiken, väl utförda i första kapitlet av Västerlandets undergång, är rätt så underhållande att ta del av.
Där är nollan ytterst viktig, precis som de negativa talen och oändligheten.

Grekisk kultur enligt Spengler: inget tidsperspektiv (ingen nolla, inga negativa tal, ingen koll på ändlighet-oändlighet); de kan leva sig in i myterna de hittar på.
Modern, västerländsk kultur enligt Spengler: ett tidsperspektiv (för att vi har det grekerna inte har); vi kan inte leva oss in i myterna.

[Stefan]

Om vi konsulterar svenska wikipedia:

Talet 0 räknas ibland som naturligt, bl.a. eftersom detta förenklar den mängdteoretiska definitionen av naturliga tal, men denna konvention förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker.

Själv tycker jag noll rent intuitivt är ganska onaturligt som ett tal. Jag tycker det känns naturligt att kalla det´"det nollte talet".

Detta ord finns ju förövrigt. Tillexempel en kemisk reaktion av nollte ordningen, eller termodynamikens nollte huvudsats.

Precis, talet 0 räknas som naturligt givet en mängdteoretisk definition av ett tal. Om tal mäter mängder så är det naturligt att se 0 som ett tal. Men om man räknar (första, andra, tredje, etc.) så är det inte naturligt att se 0 som ett tal. Man börjar ju räkna på 1.

Själv lutar jag åt att man i matematiken främst borde vara intresserad av tal som mått på storlekar på mängder. I matematiken frågar vi oss: "hur många är de och de?" vilket kan översättas till "hur stor är den och den mängden?" Därför behöver vi begrepp som multiplikation och addition. Vi frågar oss inte: "på vilken position i ordningen står det och det objektet".

Sen är det sant att talen, sedda som mått på storlekar på mängder, kan ställas i en ordning efter varandra.

[Tore]

Dessa verkar vid första anblick vara olika begrepp. Kan något av dem reduceras till det andra och i så fall hur?

Matematiskt skiljer man på kardinaltal och ordinaltal, vilket väl ungefär motsvarar språkets grundtal och ordningstal. Alla kardinaltal är ordinaltal, men inte alla ordinaltal är kardinaltal, så om något skall betraktas som mer grundläggande är det väl ordinaltalen. Skillnaden uppträder dock först när talen blir oändliga. Alla naturliga tal är alltså både kardinaltal och ordinaltal.

[meanman]

Ja, matematisk konstruktion, jag säger då det...
Mycket har hänt sedan grekernas 'figurala' aritmetik.
Här är ett komplement till Tores svar:

http://www.math.uu.se/contact/askmath/index.php?messageID=78

[Stefan]

Ja, här identifieras kardinaltalen med grundtal, och ordinaltalen med ordningstal, även i vanligt språk:

http://en.wikipedia.org/wiki/How_to_nam ... al_numbers

Själv tycker jag att identifikationen av ordinaltal med nästlade mängder är lite konstig:

0 = {}, 1 = {0} = {{}}, 2 = {0,1} = {{},{{}}}, 3 = {0,1,2} = {{},{{}},{{},{{}}}},

1 = mängden av den tomma mängden, vad betyder det egentligen?

Givet denna definition, hur skulle man uttrycka sånt som "Erik är tredje man i ordningen" mängdteoretiskt?

[Stefan]

Det verkar som om amerikaner inte ser 0 som ett naturligt tal. Hursomhelst verkar det inte finnas nån enighet på den punkten.

Man kan genomföra aritmetiska operationer både på ordinaltal och kardinaltal, men om man genomför dem på ordinaltal skiljer de sig väldigt mycket från de gängse operationerna (t ex är a x b inte lika med b x a) men om man genomför dem på kardinaltal är de lika med de gängse för ändliga mängder: http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number

Således verkar det som om det är kardinaltalsbegreppet vi använder oss av främst när vi räknar.

[meanman]

Har ni läst "nollans" världshistoria?
Här är en översikt:

http://www.sciam.com/askexpert_question.cfm?articleID=0001653D-B8ED-1C71-9EB7809EC588F2D7&catID=3&topicID=11

(obs 'lustigheten' om vad man kan göra med den tomma mängden..)

[Julia Felicia]

Första, andra, tredje och så vidare är ju ordningstal. Ett ordningstal är något man använder för att beskriva ett objekts position i förhållande till ett annat obejkts position(i en följd av objekt).

Ett, två och tre är grundtal. Ett sådant beskriver endast antalen objekt någonstans, i en följd, i ett sammanhang(ett sammanhang utan objekt också), eller någon annanstans. Detta borde ju vara helt skilt från objektens positioner i förhållande till varandra.

Däremot kan man skapa ett scenario i vilket man sätter objekt. Objekten kan kallas för första, andra, tredje osv, beroende på hur de förhåller sig till varandra, men det är man själv som bestämmer dessa förhållanden och varför man väljer att kalla just ett objekt för ett visst ordningstal. Det finns i scenariot alltid ett bestämt antal objekt(om objekten är odelbara och vi bara räknar med heltal) och man kan om man vill namnge objekten med "objekt ett", "objekt två", "objekt tre" osv. Detta är bara om man själv vill och om man väl ska göra det så kan man då göra det med avseende på hur objekten förhåller sig till varandra, men man bestämmer själv detta.
Vad vill jag komma till? Jo, när man väl namnger objekten kan det förefalla logiskt och naturligt för människan att ge det första objektet(som man tidigare bestämt vara det första av någon anledning, till exempel förhållandet till ett annat objekt) namnet "objekt ett", i och med att "ett" är det första utav grundtalen och därmed kommer först i följden av grundtal i som existerar den ordning vi bestämt och fastslagit. En förening av uttrycken är alltså inte given bara för att vi satt namn på dem enligt vad vi anser förefaller naturligast, som sagt beskriver uttrycken skilda informationer om objekten. Däremot har man på egen hand förenat dem genom det "naturliga" och "logiska" tänkandet.

[Stefan]

Ordningstal är det samma som det matematiska begrepet ordinaltal, och ordningstal på engelska = "ordinal number". På engelska är alltså det matematiska och det vardagliga begreppet detsamma. Detsamma gäller kardinaltal, "cardinal number", vilket är det matematiska begrepp som korresponderar mot grundtal.

Vad vill jag komma till? Jo, när man väl namnger objekten kan det förefalla logiskt och naturligt för människan att ge det första objektet(som man tidigare bestämt vara det första av någon anledning, till exempel förhållandet till ett annat objekt) namnet "objekt ett", i och med att "ett" är det första utav grundtalen och därmed kommer först i följden av grundtal i som existerar den ordning vi bestämt och fastslagit. En förening av uttrycken är alltså inte given bara för att vi satt namn på dem enligt vad vi anser förefaller naturligast, som sagt beskriver uttrycken skilda informationer om objekten. Däremot har man på egen hand förenat dem genom det "naturliga" och "logiska" tänkandet.

Jag förstår inte riktigt detta.

[Julia Felicia]

Ska försöka förtydliga det..

När man namnger objekten i scenariot kan det förefalla logiskt och naturligt för människan att ge det "första" objektet namnet "objekt ett", i och med att "ett" kommer först i följden av grundtal (den ordning vi bestämt och fastslagit; ett, två, tre, fyra).
- Detta är logiskt så länge vi kan bevisa att objektet är först. Men vad är det då som säger att just det valda objektet är först?
->Det är inget som säger det, man vet det inte! Man har bara bestämt det, fastslagit det på någon slags logisk grund... till exempel förhållandet till ett annat objekt, som vi också själva urskilt och lyft fram..

En förening av uttrycken (första och ett, andra och två, osv) finns inte. Varför? Eftersom de förenas först när vi, åskådarna, namnger dem efter vad vi anser förefaller logiskt. De båda uttrycken innehåller skilda informationer om objekten.

[Pilatus]

9 x (any random number)
9 x 4584564564564723 = 41261081081082507
4 + 1 + 2 + 6 + 1 + 0 + 8 + 1 + 0 + 8 + 1 + 0 + 8 + 2 + 5 + 0 + 7 = 54
5 + 4 = 9